7. Два туриста отправляются одновременно в город, расстояние до которого равно 20 км. Первый турист проходит в час на километр больше второго. Поэтому он приходит на 1 час раньше. Найдите скорость второго туриста.

Решение:

Обозначим:

• \( v_2 \) — скорость второго туриста (км/ч)
• \( v_1 \) — скорость первого туриста (км/ч)
• \( t_1 \) — время первого туриста (ч)
• \( t_2 \) — время второго туриста (ч)

По условию:

• Расстояние \( S = 20 \) км.
• \( v_1 = v_2 + 1 \)
• \( t_1 = t_2 - 1 \)

Время = Расстояние / Скорость.

\( t_1 = \frac{20}{v_1} \) и \( t_2 = \frac{20}{v_2} \).

Подставим известные соотношения:

\( \frac{20}{v_2 + 1} = \frac{20}{v_2} - 1 \)

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{20}{v_2 + 1} = \frac{20 - v_2}{v_2} \)

Перемножим крест-накрест:

\( 20v_2 = (20 - v_2)(v_2 + 1) \)

\( 20v_2 = 20v_2 + 20 - v_2^2 - v_2 \)

\( 0 = 20 - v_2^2 - v_2 \)

\( v_2^2 + v_2 - 20 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( v_2 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \). \( \sqrt{D} = 9 \).

\( v_{2,1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( v_{2,2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Скорость второго туриста \( v_2 = 4 \) км/ч.

Проверим:

Скорость первого туриста \( v_1 = 4 + 1 = 5 \) км/ч.

Время первого туриста \( t_1 = \frac{20}{5} = 4 \) часа.

Время второго туриста \( t_2 = \frac{20}{4} = 5 \) часов.

\( t_2 - t_1 = 5 - 4 = 1 \) час. Условие выполняется.

Ответ: 4 км/ч.