7. Две окружности имеют общий центр О. Радиусы ОА и ОВ одной из них пересекают другую окружность в точках С и Д. Докажите, что прямые АВ и СД параллельны.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник OAB.
• OA и OB — радиусы одной окружности, следовательно, OA = OB.
• Таким образом, треугольник OAB является равнобедренным.
• Углы при основании этого треугольника равны: ∠OAB = ∠OBA.
2. Рассмотрим треугольник OCD.
• OC и OD — радиусы другой окружности, следовательно, OC = OD.
• Таким образом, треугольник OCD также является равнобедренным.
• Углы при основании этого треугольника равны: ∠OCD = ∠ODC.
3. Углы ∠AOB и ∠COD являются центральными углами, опирающимися на дуги AB и CD соответственно.
4. Так как окружности имеют общий центр О, и лучи OA, OB, OC, OD исходят из одной точки, то углы ∠AOB и ∠COD являются вертикальными или смежными (в зависимости от расположения точек, но в данном случае они совпадают, так как OA и OB пересекают окружность в C и D, что подразумевает, что точки лежат на одних и тех же радиусах или их продолжениях).
5. Если ∠AOB = ∠COD (центральные углы равны), то и дуги, на которые они опираются, равны.
6. Следовательно, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги.
• ∠OAB = ∠OCD (как углы при основании равнобедренных треугольников с равными центральными углами).
• ∠OBA = ∠ODC (аналогично).
7. Рассмотрим секущую AD, пересекающую прямые AB и CD.
8. Углы ∠OAB (он же ∠DAB) и ∠OCD (он же ∠ACD) являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AD.
9. Так как ∠DAB = ∠ACD, то по признаку параллельности прямых, прямые AB и CD параллельны.

Что и требовалось доказать.