7. \(\frac{3}{x} + \frac{12}{x+2} = 7\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем общий знаменатель, который равен \(x(x+2)\). Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{3(x+2)}{x(x+2)} + \frac{12x}{x(x+2)} = 7\).
2. Шаг 2: Упростим числитель: \(\frac{3x + 6 + 12x}{x(x+2)} = 7\) \(\frac{15x + 6}{x(x+2)} = 7\).
3. Шаг 3: Умножим обе части на \(x(x+2)\) (при условии \(x
   eq 0\) и \(x
   eq -2\)): \(15x + 6 = 7x(x+2)\) \(15x + 6 = 7x^2 + 14x\).
4. Шаг 4: Перенесем все члены в одну сторону и приравняем к нулю: \(7x^2 + 14x - 15x - 6 = 0\) \(7x^2 - x - 6 = 0\).
5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение \(7x^2 - x - 6 = 0\) через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 1 + 168 = 169\). \(\sqrt{D} = 13\).
6. Шаг 6: Найдем корни: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 13}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1\). \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 13}{2 \cdot 7} = \frac{-12}{14} = -\frac{6}{7}\).

Ответ: x = 1, x = -6/7