7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисуйте треугольник, выходящий на оси координат. Найдите длину биссектрисы этого треугольника.

Чтобы выполнить это задание, нам нужно сначала нарисовать подходящий треугольник на координатной плоскости. Предлагаю взять прямоугольный треугольник, вершины которого лежат на осях координат и в начале координат, чтобы его было легко построить и вычислить биссектрису.

1. Построение треугольника:

   Возьмём вершины треугольника в точках:

   • O (0, 0) - начало координат.
   • A (6, 0) - точка на оси абсцисс (x).
   • B (0, 8) - точка на оси ординат (y).

   Это прямоугольный треугольник с катетами OA = 6 и OB = 8.

2. Нахождение гипотенузы AB:

   Используем теорему Пифагора: $$AB^2 = OA^2 + OB^2$$

   \[ AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]
   \[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

   Длина гипотенузы AB равна 10.

3. Нахождение биссектрисы угла O:

   Биссектриса угла O (прямого угла, 90 градусов) делит его пополам, то есть под углом 45 градусов к каждой из осей. Уравнение этой биссектрисы: $$y = x$$.

   Чтобы найти длину биссектрисы, нам нужно найти точку её пересечения с гипотенузой AB. Уравнение прямой, проходящей через точки A(6, 0) и B(0, 8):

   Угловой коэффициент $$m = \frac{8 - 0}{0 - 6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$$.

   Уравнение прямой: $$y - 0 = -\frac{4}{3}(x - 6)$$
   \[ y = -\frac{4}{3}x + 8 \]

   Теперь приравняем уравнение биссектрисы ($$y=x$$) к уравнению гипотенузы:

   \[ x = -\frac{4}{3}x + 8 \]
   \[ x + \frac{4}{3}x = 8 \]
   \[ \frac{3x + 4x}{3} = 8 \]
   \[ \frac{7x}{3} = 8 \]
   \[ 7x = 24 \]
   \[ x = \frac{24}{7} \]

   Так как $$y=x$$, то $$y = \frac{24}{7}$$.

   Точка пересечения биссектрисы с гипотенузой — $$C(\frac{24}{7}, \frac{24}{7})$$.

4. Расчёт длины биссектрисы OC:

   Длина биссектрисы OC равна расстоянию от начала координат (0, 0) до точки C($$\frac{24}{7}, \frac{24}{7}$$).

   \[ OC = \sqrt{(\frac{24}{7} - 0)^2 + (\frac{24}{7} - 0)^2} = \sqrt{2 \times (\frac{24}{7})^2} = \frac{24}{7} \sqrt{2} \]

Ответ: $$\frac{24\text{ \(\\) sqrt{2}}}{7}$$