7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах. Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения задачи необходимо определить координаты точек, рассчитать векторы сторон треугольника и найти углы между ними, используя скалярное произведение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим координаты точек, исходя из сетки. Пусть левый нижний угол сетки будет (0,0). Тогда: A = (1, 3), B = (3, 1), C = (4, 3).
2. Шаг 2: Найдем векторы сторон треугольника.
• Вектор $$\vec{BA} = A - B = (1-3, 3-1) = (-2, 2)$$
• Вектор $$\vec{BC} = C - B = (4-3, 3-1) = (1, 2)$$
• Вектор $$\vec{AC} = C - A = (4-1, 3-3) = (3, 0)$$
• Вектор $$\vec{AB} = B - A = (3-1, 1-3) = (2, -2)$$
3. Шаг 3: Найдем угол ABC (угол между векторами $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$).
• Скалярное произведение: $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2)(1) + (2)(2) = -2 + 4 = 2$$
• Длины векторов: $$|\vec{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
• $$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$$
• Косинус угла: $$\cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{2}{2\sqrt{2} \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$
• $$\angle ABC = \arccos(\frac{1}{\sqrt{10}}) \approx 71.565^{\circ}$$
4. Шаг 4: Найдем угол CAB (угол между векторами $$\vec{AC}$$ и $$\vec{AB}$$).
• Скалярное произведение: $$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = (3)(2) + (0)(-2) = 6$$
• Длины векторов: $$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$$
• $$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
• Косинус угла: $$\cos(\angle CAB) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC}| |\vec{AB}|} = \frac{6}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
• $$\angle CAB = \arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$$
5. Шаг 5: Найдем сумму углов: $$\angle ABC + \angle CAB \approx 71.565^{\circ} + 45^{\circ} \approx 116.565^{\circ}$$

Ответ: 116.565