7. Найдите значение выражения \( \frac{59}{\cos^2 14° + 3 + \cos^2 76°} \).

Решение:

Воспользуемся тригонометрическим тождеством: \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).

Также воспользуемся формулой приведения: \( \cos(90° - \alpha) = \sin \alpha \).

Рассмотрим \( \cos^2 76° \). Заменим \( 76° \) на \( 90° - 14° \):

\( \cos^2 76° = \cos^2 (90° - 14°) = (\sin 14°)^2 = \sin^2 14° \).

Теперь подставим это в знаменатель исходного выражения:

\( \cos^2 14° + 3 + \cos^2 76° = \cos^2 14° + 3 + \sin^2 14° \).

Перегруппируем слагаемые:

\( = (\cos^2 14° + \sin^2 14°) + 3 \).

Используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 14° + \sin^2 14° = 1 \), получим:

\( = 1 + 3 = 4 \).

Теперь подставим значение знаменателя в исходное выражение:

\( \frac{59}{4} \).

\( \frac{59}{4} = 14.75 \).

Ответ: 14.75