8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и касательная к этому графику, проведённая в точке $ x_0 $. Найдите значение производной функции $ g(x) = 6f(x) - 3x $ в точке $ x_0 $.

Question

8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и касательная к этому графику, проведённая в точке $ x_0 $. Найдите значение производной функции $ g(x) = 6f(x) - 3x $ в точке $ x_0 $.

$Фото задания: 8. На рисунке изображены график функции $ y = f(x) $ и касательная к этому графику, проведённая в точке $ x_0 $.…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Производная функции $ g(x) $ находится по правилам дифференцирования.

$ g'(x) = (6f(x) - 3x)' $.

Используем правило линейности производной: $ (cu)' = cu' $ и $ (u-v)' = u' - v' $.

$ g'(x) = 6f'(x) - 3 $.

Производная функции $ y = f(x) $ в точке $ x_0 $, то есть $ f'(x_0) $, равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

По рисунку определим угловой коэффициент касательной. Для этого выберем две точки на касательной.

Одна точка, которая явно видна на графике касательной, имеет координаты $ (x_0, f(x_0)) $. Из графика видно, что $ f(x_0) $ находится между 0 и 1, примерно 0.8.

Другая точка на касательной — это точка пересечения касательной с осью X, которая находится в $ x = 1 $, и значение функции там равно 0. То есть точка $ (1, 0) $.

Найдем вторую точку на графике, которая также лежит на касательной. Видно, что касательная проходит через точку $ (0, 1.6) $ (примерно).

Угловой коэффициент $ k $ касательной равен разности ординат, деленной на разность абсцисс:

$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $.

Возьмем точки $ (1, 0) $ и $ (0, 1.6) $. (Предположим, что вторая точка (0, 1.6), так как на графике ось Y имеет деления, и видно, что касательная пересекает ось Y чуть выше 1.5).

$ k = \frac{0 - 1.6}{1 - 0} = -1.6 $.

Итак, $ f'(x_0) = k = -1.6 $.

Теперь найдем значение производной функции $ g(x) $ в точке $ x_0 $:

$ g'(x_0) = 6f'(x_0) - 3 $.

$ g'(x_0) = 6(-1.6) - 3 $.

$ g'(x_0) = -9.6 - 3 $.

$ g'(x_0) = -12.6 $.

Проверим другую точку. Если предположить, что касательная проходит через $ (0, 1.5) $ и $ (1, 0) $, то $ k = \frac{0 - 1.5}{1 - 0} = -1.5 $.

Тогда $ g'(x_0) = 6(-1.5) - 3 = -9 - 3 = -12 $.

Если посмотреть на график, точка $ x_0 $ находится примерно на 0.5, и значение $ f(x_0) $ около 0.8. Касательная в точке $ x_0 $ имеет отрицательный наклон. Если провести линию через $ (1,0) $ и $ (0, y_intercept) $.

Попробуем найти другую пару точек на касательной. Точка $ x_0 $ находится примерно на 0.5. Значение $ f(x_0) $ примерно 0.8.

Касательная проходит через точку $ (1,0) $.

Попробуем определить другие точки. Если $ x=0 $, $ y $ примерно $ 1.6 $. Если $ x=1 $, $ y=0 $. Наклон $ k = (0-1.6)/(1-0) = -1.6 $.

$ g'(x_0) = 6f'(x_0) - 3 = 6(-1.6) - 3 = -9.6 - 3 = -12.6 $.

Если предположить, что касательная проходит через $ (0, 1.5) $ и $ (1, 0) $, то $ k = -1.5 $.

$ g'(x_0) = 6(-1.5) - 3 = -9 - 3 = -12 $.

Рассмотрим рисунок внимательнее. Касательная пересекает ось Y приблизительно в точке $ (0, 1.5) $ и ось X в точке $ (1, 0) $.

Угловой коэффициент касательной $ k = \frac{0 - 1.5}{1 - 0} = -1.5 $.

Значит, $ f'(x_0) = -1.5 $.

Теперь найдем значение производной функции $ g(x) $ в точке $ x_0 $:

$ g'(x_0) = 6f'(x_0) - 3 $.

$ g'(x_0) = 6(-1.5) - 3 $.

$ g'(x_0) = -9 - 3 = -12 $.

Ответ: -12