7. Найти центр тяжести фигуры.

Считаем фигуру однородной пластиной. По рисунку её основа — прямоугольный треугольник с вершинами \((0;0)\), \((0;50)\), \((50;0)\); из него вырезаны прямоугольник \(20\times10\) и круглое отверстие радиуса 4 с центром \((10;25)\). Размеры используем в единицах, указанных на чертеже.

Площади и координаты центров частей: треугольник — \(A_1=1250\), центр \((50/3;50/3)\); прямоугольник — \(A_2=200\), центр \((10;5)\); отверстие — \(A_3=16\pi\), центр \((10;25)\). Вырезанные части учитываем со знаком минус.

Общая площадь: \(A=1250-200-16\pi=1050-16\pi\).

\(\bar{x}=\frac{1250\cdot(50/3)-200\cdot10-16\pi\cdot10}{1050-16\pi}\approx17.96\).

\(\bar{y}=\frac{1250\cdot(50/3)-200\cdot5-16\pi\cdot25}{1050-16\pi}\approx18.03\).

Ответ: центр тяжести имеет координаты приблизительно \((17,96;\ 18,03)\) в единицах размеров чертежа.