7. По данным рисунка найдите сторону АВ.

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Значит, треугольник ABC — равнобедренный, и AC = BC.

Используем теорему синусов:

\( \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \)

\( \frac{AB}{\sin 45^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 30^{\circ}} \)

\( AB = BC \cdot \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = BC \cdot \frac{\sqrt{2}/2}{1/2} = BC \cdot \sqrt{2} \)

Также, по теореме косинусов:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \)

Используем данные из рисунка. \( BC = 3\sqrt{2} \).

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90), угол A = 30, угол B = 60. Это противоречит рисунку. По рисунку угол C = 45. Тогда угол B = 180 - 90 - 45 = 45. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, AC = BC.

Если AC = BC, то по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB^2 = 2 BC^2 \)

\( AB = BC \sqrt{2} \)

По рисунку, сторона, противолежащая углу 30 градусов, равна AC. Сторона, противолежащая углу 45 градусов, равна BC. Сторона, противолежащая углу 90 градусов, равна AB. BC = 3√2.

По теореме синусов:

\( \frac{AC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 45^{\circ}} = \frac{AB}{\sin 90^{\circ}} \)

\( AC = BC \cdot \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \)

\( AB = BC \cdot \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}/2} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6 \)

Ответ: AB = 6