7. По данным рисунка найдите сторону ВС.

Задание 7

Дано:

• Треугольник ABC.
• Сторона AB = \( 3\sqrt{2} \).
• Угол A = \( 60^{\circ} \).
• Угол C = \( 45^{\circ} \).

Найти: сторону BC.

Решение:

1. Сначала найдём угол B в треугольнике ABC. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).
2. \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ} \).
3. Теперь воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны BC. Теорема синусов гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон треугольника:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \]

3. Подставим известные значения:

\[ \frac{BC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{AB}{\sin 45^{\circ}} \]

4. Выразим BC:

\[ BC = AB \cdot \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \]

5. Подставим значения синусов: \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\[ BC = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3} \]

Ответ: BC = \( 3\sqrt{3} \).