7. При каких натуральных значениях \(n\) дробь \(\frac{3n^2+8n+12}{n}\) является натуральным числом?

Разделим каждый член числителя на \(n\): \(\frac{3n^2+8n+12}{n}=3n+8+\frac{12}{n}\).

При натуральном \(n\) первые два слагаемых — натуральные числа. Чтобы вся сумма была натуральным числом, необходимо и достаточно, чтобы \(\frac{12}{n}\) было целым, то есть чтобы \(n\) делило 12.

Натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ответ: \(n=1,2,3,4,6,12\).