7) При каких значениях \(a\) выполняется равенство: \(\sqrt{a^4+2a^2+1}=a^2+1\)?

Подкоренное выражение является полным квадратом: \(a^4+2a^2+1=(a^2+1)^2\). Поэтому \(\sqrt{(a^2+1)^2}=|a^2+1|\). Так как \(a^2+1>0\) при любом действительном \(a\), получаем \(|a^2+1|=a^2+1\).

Ответ: равенство выполняется при всех действительных \(a\).