7. Примените признаки делимости и разложение. Ответь на вопросы. 1) Делится ли число 5436 на 9? Обоснуйте ответ. 2) Сколько различных простых делителей у числа 210? 3) Является ли число 503 простым? Проверьте делимость на все простые числа до √503. 4) Найдите наибольший общий делитель чисел 36 и 54.

1. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. \(5+4+3+6=18\), а 18 делится на 9. Значит, 5436 делится на 9.
2. \(210=2\cdot3\cdot5\cdot7\). У числа четыре различных простых делителя.
3. \(\sqrt{503}\approx22.4\), поэтому проверяем простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Число 503 не делится ни на одно из них: оно нечётное, сумма цифр равна 8, последняя цифра не 0 и не 5; деление на 7, 11, 13, 17 и 19 не даёт целого частного. Следовательно, 503 — простое.
4. \(36=2^2\cdot3^2\), \(54=2\cdot3^3\). Общие множители в наименьших степенях: \(2\cdot3^2=18\).

Ответ: 1) да; 2) 4; 3) да, 503 — простое число; 4) 18.