7. Примените признаки делимости и разложение. Ответьте на вопросы. 1) Делится ли число 5436 на 9? Обоснуйте ответ. 2) Сколько различных простых делителей у числа 210? 3) Является ли число 503 простым? Проверьте делимость на все простые числа до √503. 4) Найдите наибольший общий делитель чисел 36 и 54.

Сумма цифр числа 5436 равна \(5+4+3+6=18\). Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Поскольку 18 делится на 9, число 5436 делится на 9.

Разложим число: \(210=2\cdot3\cdot5\cdot7\). В разложении четыре различных простых множителя.

\(\sqrt{503}\approx22.4\), поэтому проверяем простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. Число 503 не делится ни на одно из них: оно нечётное, сумма цифр равна 8, последняя цифра не 0 и не 5; также \(503=7\cdot71+6=11\cdot45+8=13\cdot38+9=17\cdot29+10=19\cdot26+9\). Следовательно, 503 — простое число.

\(36=2^2\cdot3^2\), \(54=2\cdot3^3\). Общие множители в наименьших степенях дают \(\text{НОД}(36,54)=2\cdot3^2=18\).