7. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25.

В треугольнике ABC прямая MN параллельна стороне AC. Дано MN = 12, AC = 42 и NC = 25. Требуется найти длину отрезка BN.

**1. Подобие треугольников:**
*Поскольку прямая MN параллельна стороне AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC.*

**2. Соотношение сторон в подобных треугольниках:**
*В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны. То есть, отношение MN к AC равно отношению BN к BC*

\(\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}\)

**3. Выразим BC через BN и NC:**

*Мы знаем, что BC = BN + NC.

**4. Подставим известные значения:**
*Известно: MN = 12, AC = 42, NC = 25. Подставим эти значения и получим:*

\(\frac{12}{42} = \frac{BN}{BN+25}\)

**5. Решим уравнение:**

*Упростим дробь:*

\(\frac{2}{7} = \frac{BN}{BN+25}\)

*Перемножим крест на крест:*

2 * (BN + 25) = 7 * BN

2BN + 50 = 7BN

50 = 7BN - 2BN

50 = 5BN

BN = 50 / 5

BN = 10

**Ответ:** Длина отрезка BN равна 10.