7. Решить тригонометрическое уравнение: 3sin²x + sinxcosx - 2cos²x = 0;

Решение:

1. Данное уравнение: \( 3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 \).
2. Это однородное уравнение второй степени относительно \( \sin x \) и \( \cos x \).
3. Сначала проверим, является ли \( \cos x = 0 \) решением. Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \). Подставим в уравнение: \( 3(\pm 1)^2 + (\pm 1)(0) - 2(0)^2 = 0 \) \( 3(1) + 0 - 0 = 0 \) \( 3 = 0 \). Это неверно, значит \( \cos x \neq 0 \).
4. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (поскольку \( \cos x \neq 0 \)):
5. \( \frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
6. \( 3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0 \).
7. Сделаем замену: \( t = \tan x \). Получим квадратное уравнение: \( 3t^2 + t - 2 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4 3 (-2) = 1 + 24 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).
9. Найдём корни: \( t_1 = \frac{-1 + 5}{2 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \), \( t_2 = \frac{-1 - 5}{2 3} = \frac{-6}{6} = -1 \).
10. Теперь вернёмся к замене:
11. 1) \( \tan x = \frac{2}{3} \) \( x = \arctan \left( \frac{2}{3} \right) + \pi n \), где \( n \mathbb{Z} \).
12. 2) \( \tan x = -1 \) \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \arctan \left( \frac{2}{3} \right) + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \mathbb{Z} \).