7. Решить задачу: Дано: В 1-й секции библиотеки — 5 новых изданий и 5 старых учебников. Во 2-й секции — 7 новых изданий и 3 старых учебника. Из каждой секции наугад берут по 1 книге. Какова вероятность того, что: a) обе книги окажутся новыми изданиями; б) будет извлечен хотя бы один старый учебник?

Решение:

Дано:

Секция 1: 5 новых (Н1), 5 старых (С1). Всего в секции 1: \( 5 + 5 = 10 \) книг.

Секция 2: 7 новых (Н2), 3 старых (С2). Всего в секции 2: \( 7 + 3 = 10 \) книг.

Из каждой секции наугад берут по 1 книге.

Найти:

Вероятность событий:

а) Обе книги — новые издания.

б) Хотя бы один старый учебник.

Решение:

1. а) Вероятность того, что обе книги окажутся новыми изданиями.
   Вероятность взять новую книгу из 1-й секции: \( P(Н1) = \frac{\text{Количество новых книг в секции 1}}{\text{Общее количество книг в секции 1}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
   Вероятность взять новую книгу из 2-й секции: \( P(Н2) = \frac{\text{Количество новых книг в секции 2}}{\text{Общее количество книг в секции 2}} = \frac{7}{10} \).
   Так как события независимые, вероятность того, что обе книги окажутся новыми, равна произведению вероятностей:
   \( P(Н1 \text{ и } Н2) = P(Н1) \times P(Н2) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{10} = \frac{7}{20} \).
   
2. б) Вероятность того, что будет извлечен хотя бы один старый учебник.
   Событие «хотя бы один старый учебник» является противоположным к событию «обе книги — новые издания».
   Вероятность противоположного события равна \( 1 \) минус вероятность самого события.
   \( P(\text{хотя бы один старый}) = 1 - P(\text{обе новые}) \)
   \( P(\text{хотя бы один старый}) = 1 - \frac{7}{20} = \frac{20}{20} - \frac{7}{20} = \frac{13}{20} \).
   Альтернативный способ для б):
   Возможные варианты, когда есть хотя бы один старый учебник:
   1. Старый из секции 1 (С1) и новый из секции 2 (Н2).
   \( P(С1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
   \( P(Н2) = \frac{7}{10} \)
   \( P(С1 \text{ и } Н2) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{10} = \frac{7}{20} \)
   2. Новый из секции 1 (Н1) и старый из секции 2 (С2).
   \( P(Н1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
   \( P(С2) = \frac{3}{10} \)
   \( P(Н1 \text{ и } С2) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{20} \)
   3. Старый из секции 1 (С1) и старый из секции 2 (С2).
   \( P(С1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
   \( P(С2) = \frac{3}{10} \)
   \( P(С1 \text{ и } С2) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{20} \)
   Суммируем вероятности несовместных событий:
   \( P(\text{хотя бы один старый}) = \frac{7}{20} + \frac{3}{20} + \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \>.

Ответ: а) Вероятность того, что обе книги окажутся новыми изданиями, равна \( \frac{7}{20} \). б) Вероятность того, что будет извлечен хотя бы один старый учебник, равна \( \frac{13}{20} \).