7) Решите уравнение: 2 sin^2 x - sin x - 1 = 0.

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение. Это похоже на обычное квадратное уравнение, просто вместо 'x' у нас 'sin x'.

1. Сделаем замену: Пусть \( t = \sin x \). Тогда наше уравнение примет вид:
   \( 2t^2 - t - 1 = 0 \)
2. Решим квадратное уравнение: Найдем дискриминант \( D \):
   \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \)
   Теперь найдем корни \( t_1 \) и \( t_2 \):
   \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
   \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2 \times 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
3. Вернемся к замене: Теперь у нас два случая:
   Случай 1: \( \sin x = 1 \)
   Решение этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
   
   Случай 2: \( \sin x = -\frac{1}{2} \)
   Это стандартное значение синуса. Углы, для которых синус равен \( -\frac{1}{2} \), это \( \frac{7\pi}{6} \) и \( \frac{11\pi}{6} \) (или \( -\frac{\pi}{6} \)).
   Общее решение для этого случая:
   \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \) (или \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \)), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: x = \( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), x = \( \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), x = \( \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.