7*. Решите уравнение: x⁴ + x³ - 8x - 8 = 0.

Решение:

Решим уравнение \( x^4 + x^3 - 8x - 8 = 0 \) методом группировки.

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

\[ (x^4 + x^3) + (-8x - 8) = 0 \]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ x^3(x + 1) - 8(x + 1) = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \( (x + 1) \) за скобки:

\[ (x + 1)(x^3 - 8) = 0 \]

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( x + 1 = 0 \)
\[ x = -1 \]

Случай 2: \( x^3 - 8 = 0 \)
\[ x^3 = 8 \]
\[ x = \sqrt[3]{8} \]
\[ x = 2 \]

Ответ: \( x = -1, x = 2 \).