7. Сложные свойства. Профессор Математикус подготовил утверждения о свойствах делимости для продвинутых магов. Какие из них истинны? 1. Если a делится на 3, а b делится на 5, то a · b обязательно делится на 15. 2. Если произведение a · b делится на 10, то хотя бы один из множителей обязательно делится на 10. 3. Произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8. 4. Если число n делится на 3, то n² всегда делится на 9.

1. Истинно. Если \(a = 3k\), а \(b = 5m\), то \(a \cdot b = 15km\), значит, произведение делится на 15.
2. Ложно. Например, \(2 \cdot 5 = 10\): произведение делится на 10, но ни один множитель не делится на 10.
3. Истинно. Пусть последовательные чётные числа имеют вид \(2k\) и \(2k+2 = 2(k+1)\). Их произведение равно \(4k(k+1)\). Одно из чисел \(k\) и \(k+1\) чётное, поэтому произведение делится ещё на 2, то есть на 8.
4. Истинно. Если \(n = 3k\), то \(n^2 = 9k^2\), поэтому квадрат числа делится на 9.

Ответ: истинны утверждения 1, 3 и 4; утверждение 2 — ложно.