7. Справедливо ли для всех рациональных чисел n и m:

Проверка равенств для рациональных чисел

Рассмотрим предложенные равенства для всех рациональных чисел $$n$$ и $$m$$.

• а) $$-nm = -n \cdot (-m)$$
  Левая часть: $$-nm$$.
  Правая часть: $$-n \cdot (-m) = nm$$ (произведение двух отрицательных чисел положительно).
  Равенство $$-nm = nm$$ справедливо только если $$nm = 0$$, то есть $$n=0$$ или $$m=0$$. Следовательно, равенство неверно для всех рациональных чисел.
• б) $$-(n + m) = -n + (-m)$$
  Левая часть: $$-(n + m) = -n - m$$.
  Правая часть: $$-n + (-m) = -n - m$$.
  Левая и правая части равны. Следовательно, равенство верно для всех рациональных чисел.
• в) $$\frac{1}{nm} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}$$
  Левая часть: $$\frac{1}{nm}$$.
  Правая часть: $$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m} = \frac{1 \cdot 1}{n \cdot m} = \frac{1}{nm}$$.
  Левая и правая части равны. Следовательно, равенство верно для всех рациональных чисел (при условии, что $$n
  eq 0$$ и $$m
  eq 0$$).
• г) $$\frac{1}{n} + m = \frac{1}{n} + \frac{1}{m}$$
  Это равенство может быть верным только если $$m = \frac{1}{m}$$. Это возможно, когда $$m^2 = 1$$, то есть $$m = 1$$ или $$m = -1$$.
  Следовательно, равенство неверно для всех рациональных чисел $$n$$ и $$m$$.

Итог: Справедливы равенства б) и в) (с учетом ограничений $$n, m
eq 0$$ для в).