7. Центральный угол АОВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, на которую он опирается, если радиус окружности равен 5.

Решение:

Центральный угол \(\angle AOB = 60^{\circ}\). Радиус окружности \(OA = OB = 5\).

Рассмотрим треугольник \(AOB\). Так как \(OA = OB\) (это радиусы), то треугольник \(AOB\) является равнобедренным.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому \(\angle OAB = \angle OBA\).

Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\):

\(\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ}\)

\(60^{\circ} + \angle OAB + \angle OAB = 180^{\circ}\)

\(2 \angle OAB = 180^{\circ} - 60^{\circ}\)

\(2 \angle OAB = 120^{\circ}\)

\(\angle OAB = 60^{\circ}\)

Таким образом, все углы в треугольнике \(AOB\) равны \(60^{\circ}\) (\(\angle AOB = 60^{\circ}\), \(\angle OAB = 60^{\circ}\), \(\angle OBA = 60^{\circ}\)). Следовательно, треугольник \(AOB\) является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны.

Значит, длина хорды \(AB\) равна радиусу: \(AB = OA = OB = 5\).

Ответ: 5.