7. В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём CF = AM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Обозначим \(AM=CF=x\), \(BE=DK=y\). В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(AD=BC\).

Введём векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\) и \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\). Пусть \(t=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{DK}{CD}\), а \(s=\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{CF}{BC}\).

Тогда, выражая положения точек через вершины параллелограмма, получаем:

\(E=A+(1-t)\mathbf b\), \(M=A+s\mathbf d\), \(F=B+(1-s)\mathbf d\), \(K=D+t\mathbf b\).

Вычислим векторы противоположных сторон:

\[\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=t\mathbf b+(1-s)\mathbf d.\]

\[\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=-t\mathbf b-(1-s)\mathbf d.\]

Следовательно, \(\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{MK}\), поэтому \(EF\parallel KM\) и \(EF=KM\).

Теперь рассмотрим две другие стороны:

\[\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AF}=(t-1)\mathbf b+s\mathbf d.\]

\[\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AE}=(t-1)\mathbf b+s\mathbf d.\]

Значит, \(\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{EM}\), поэтому \(FK\parallel EM\) и \(FK=EM\).

У четырёхугольника EFKM противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, он является параллелограммом.

Ответ: \(EFKM\) — параллелограмм.