7. В правильной треугольной призме DABC с ребром a, точка O — центр треугольника ABC. а) Постройте вектор ½DC − ½DB и найдите его длину. б) Найдите |DB + BC − DC|.

а) По правилу треугольника \(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}\), поэтому \(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BC}\). Следовательно, \(\frac12\overrightarrow{DC}-\frac12\overrightarrow{DB}=\frac12\overrightarrow{BC}\). Построение: это вектор, сонаправленный с \(\overrightarrow{BC}\), длины, равной половине ребра \(BC\). Так как основание — правильный треугольник со стороной \(a\), длина вектора равна \(\frac a2\).

б) По правилу треугольника \(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}\). Значит, \(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}=\vec 0\), а длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: а) длина вектора — \(\frac a2\); б) 0.