7. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 28, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45%. Найдите площадь треугольника.

Краткая запись:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• Катет $$a = 28$$.
• Угол ∠B = 45° (прилежащий к катету $$a$$).
• Найти: Площадь $$S$$ — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где ∠C = 90°.
2. Шаг 2: Пусть катет, прилежащий к углу B, равен $$a = 28$$. Это означает, что $$a$$ - это сторона BC.
3. Шаг 3: Угол ∠B = 45°.
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно, ∠A = 90° - ∠B = 90° - 45° = 45°.
5. Шаг 5: Поскольку ∠A = ∠B = 45°, треугольник ABC является равнобедренным. Это означает, что катеты, прилежащие к этим углам, равны.
6. Шаг 6: Значит, катет $$a$$ (BC) равен катету $$b$$ (AC). $$a = b = 28$$.
7. Шаг 7: Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2$$.
8. Шаг 8: Подставим значения катетов:
• $$S = \frac{1}{2} \times 28 \times 28$$
• $$S = 14 \times 28$$
• $$S = 392$$
9. Альтернативный способ: Используем тангенс угла.
10. $$tg(B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC}$$
11. $$tg(45^\circ) = \frac{AC}{28}$$
12. Так как $$tg(45^\circ) = 1$$, то $$1 = \frac{AC}{28}$$.
13. $$AC = 28$$.
14. Площадь $$S = \frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times 28 \times 28 = 392$$.

Ответ: 392