7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АЕ и СД. Докажите, что ДАДС = АСЕА

Задание 7: Доказательство равенства треугольников

Дано:

• △ABC — равнобедренный с основанием АС.
• АЕ — биссектриса ∠BAC.
• СД — биссектриса ∠BCA.

Доказать: △ADC = △CEA.

Доказательство:

1. Рассмотрим △ABC:
   
   • Так как △ABC — равнобедренный с основанием АС, то ∠BAC = ∠BCA.
   • Кроме того, стороны АВ = ВС.


2. Рассмотрим биссектрисы АЕ и СД:
   
   • АЕ делит ∠BAC пополам: ∠BAE = ∠CAE = ⅜ ∠BAC.
   • СД делит ∠BCA пополам: ∠BCD = ∠ACD = ⅜ ∠BCA.
   • Так как ∠BAC = ∠BCA, то и их половины равны: ∠CAE = ∠ACD.


3. Рассмотрим △ADC и △CEA:
   
   • Сторона АС — общая для обоих треугольников.
   • Угол ∠CAD (он же ∠BAC) равен углу ∠ACE (он же ∠BCA), так как △ABC — равнобедренный.
   • Угол ∠ACD равен углу ∠CAE, как показано в пункте 2.


4. Вывод: По стороне и двум прилежащим к ней углам (признак равенства треугольников по стороне и двум углам - УСУ), △ADC = △CEA.

Что и требовалось доказать.