7. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат GCFD, имеющий с ним общий прямой угол C. Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен 9 см.

Пусть сторона квадрата равна s. Диагональ квадрата, соединяющая вершину C с противоположной вершиной D, равна s√2.

Высота из C к гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. Гипотенуза равна 9√2 см, поэтому высота равна 9√2 : 2 см. Так как D лежит на гипотенузе, эта высота равна диагонали CD квадрата:

\(s\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\), откуда \(s=\frac{9}{2}\) см.

Периметр квадрата: \(4s=4\cdot\frac{9}{2}=18\) см.

Ответ: 18 см.