7. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах

Решение:

Пусть А — событие, что кофе закончится в первом автомате. Пусть В — событие, что кофе закончится во втором автомате.

Дано:

\( P(A) = 0.3 \)

\( P(B) = 0.3 \)

\( P(A \cap B) = 0.12 \)

Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах. Это означает, что кофе НЕ закончится ни в первом, ни во втором автомате. Обозначим эти события как \( \bar{A} \) и \( \bar{B} \).

Вероятность того, что кофе НЕ закончится в первом автомате: \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7 \).

Вероятность того, что кофе НЕ закончится во втором автомате: \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.3 = 0.7 \).

Используем формулу включения-исключения для нахождения вероятности того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.3 + 0.3 - 0.12 = 0.6 - 0.12 = 0.48 \).

Это вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.

Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, является дополнением к событию \( A \cup B \).

\( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.48 = 0.52 \).

Альтернативный способ (через условные вероятности, если бы автоматы были зависимы, но здесь они независимы, что упрощает задачу):

Если предположить, что события окончания кофе в каждом автомате независимы (хотя вероятность одновременного окончания 0.12 вместо 0.09, что говорит о некоторой зависимости, но условие задачи может предполагать независимость для расчета P(A) и P(B)), то:

Нам нужно найти \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) \).

По теореме де Моргана: \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) \).

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.3 + 0.3 - 0.12 = 0.48 \).

\( P(\bar{A} ∩ w\bar{B}) = 1 - 0.48 = 0.52 \).

Ответ: 0.52