7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 15.

Обозначим катеты через a и b, а гипотенуза c = 15.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: \(r = \frac{a+b-c}{2}\).

Подставим данные: \(3 = \frac{a+b-15}{2}\), откуда \(a+b=21\).

По теореме Пифагора \(a^2+b^2=15^2=225\). Тогда \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\), поэтому \(441=225+2ab\), и \(ab=108\).

Площадь равна \(S=\frac{ab}{2}=54\).

Ответ: 54.