8. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ AC ромба равна 140, а тангенс угла BCA равен 24/7.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть O — их точка пересечения. Тогда \(CO=\frac{AC}{2}=70\), а треугольник BCO прямоугольный.

По определению тангенса \(\tan \angle BCA=\frac{BO}{CO}=\frac{24}{7}\). Следовательно, \(BO=70\cdot\frac{24}{7}=240\), поэтому \(BD=480\).

Сторона ромба: \(BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{240^2+70^2}=250\). Площадь ромба равна \(S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{140\cdot480}{2}=33600\).

Радиус вписанной окружности равен площади, делённой на полупериметр: \(r=\frac{S}{2\cdot250}=\frac{33600}{500}=67.2\).

Ответ: 67,2.