7. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М так, что АМ : MC = 2:3. Параллельно стороне АВ проведена прямая MN (N∈ BC). Найди MN, если АВ = 15 см.

Решение:

Проведём прямую MN параллельно стороне AB, где N лежит на BC, а M лежит на AC. По условию, точка M делит сторону AC в отношении AM : MC = 2:3.

Это означает, что AC = AM + MC. Если AM = 2x, то MC = 3x, и AC = 2x + 3x = 5x.

Поскольку MN || AB, то треугольник MNC подобен треугольнику ABC (по двум углам: \( \angle C \) — общий, \( \angle CMN = \angle CAB \) и \( \angle CNM = \angle CBA \) как соответственные при параллельных прямых MN и AB и секущих AC и BC).

Из подобия треугольников MNC и ABC следует пропорциональность их сторон:

\( \frac{MN}{AB} = \frac{MC}{AC} = \frac{NC}{BC} \)

Нам известно отношение сторон MC к AC:

\( \frac{MC}{AC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} \)

Теперь можем найти длину MN, используя отношение \( \frac{MN}{AB} = \frac{MC}{AC} \):

\( \frac{MN}{15 \text{ см}} = \frac{3}{5} \)

Чтобы найти MN, умножим обе части уравнения на 15 см:

\( MN = \frac{3}{5} \times 15 \text{ см} \)

\( MN = 3 \times 3 \text{ см} \)

\( MN = 9 \text{ см} \)

Ответ: MN = 9 см.