7. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=65° и ВМ=АМ=MC

Задание 7. Угол в треугольнике

Дано:

• Треугольник \( \triangle ABC \).
• Медиана \( BM \).
• \( \angle C = 65^\circ \)
• \( BM = AM = MC \)

Найти: \( \angle A \).

Решение:

1. Условие \( BM = AM = MC \) означает, что точка \( M \) является центром описанной окружности для \( \triangle ABC \), а \( BM \) — радиусом этой окружности.

2. Рассмотрим \( \triangle BMC \). Так как \( BM = MC \) (по условию), то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, \( \angle MBC = \angle C = 65^\circ \).

3. Найдем \( \angle BMC \) в \( \triangle BMC \):

\( \angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle C) = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).

4. Угол \( \angle AMB \) смежный с \( \angle BMC \), поэтому:

\( \angle AMB = 180^\circ - \angle BMC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).

5. Рассмотрим \( \triangle AMB \). Так как \( AM = BM \) (по условию), то этот треугольник равнобедренный. Углы при основании \( AB \) равны:

\[ \angle BAM = \angle ABM \]

6. Найдем \( \angle BAM \) (что равно \( \angle A \) треугольника \( \triangle ABC \)):

\[ \angle BAM = \frac{180^\circ - \angle AMB}{2} = \frac{180^\circ - 130^\circ}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \]

Ответ: 25