7. Велосипедист и пешеход одновременно начали движение из пункта А в пункт В. Когда велосипедист приехал в пункт В, пешеходу осталось пройти четыре седьмых всего пути. Когда пешеход пришёл в пункт В, велосипедист уже ждал его там 20 минут. Сколько минут ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

Решение:

Обозначим весь путь из А в В за \( S \).

Когда велосипедист приехал в пункт В, пешеходу осталось пройти \( \frac{4}{7}S \). Это значит, что пешеход прошёл \( S - \frac{4}{7}S = \frac{3}{7}S \).

Пусть \( v_в \) — скорость велосипедиста, \( v_п \) — скорость пешехода. Время велосипедиста в пути равно \( t_в = \frac{S}{v_в} \).

Время, которое прошёл пешеход, равно \( t_п = \frac{\frac{3}{7}S}{v_п} \).

По условию, когда пешеход пришёл в пункт В (прошёл весь путь \( S \) за время \( t_{п.весь} = \frac{S}{v_п} \)), велосипедист ждал его 20 минут. Это означает, что велосипедист закончил свой путь на 20 минут раньше, чем пешеход.

\( t_{п.весь} = t_в + 20 \)

\( \frac{S}{v_п} = \frac{S}{v_в} + 20 \) (1)

Также мы знаем, что когда велосипедист приехал, пешеход прошёл \( \frac{3}{7}S \) за время \( t_в \).

\( t_в = \frac{\frac{3}{7}S}{v_п} \)

Подставим это в уравнение (1):

\( \frac{S}{v_п} = \frac{\frac{3}{7}S}{v_п} + 20 \)

Вычтем \( \frac{3}{7}S / v_п \) из обеих частей:

\( \frac{S}{v_п} - \frac{3}{7}\frac{S}{v_п} = 20 \)

\( \frac{4}{7}\frac{S}{v_п} = 20 \)

\( \frac{S}{v_п} = 20 \cdot \frac{7}{4} = 35 \) минут. Это время, за которое пешеход прошёл бы весь путь.

Теперь вернёмся к уравнению \( t_{п.весь} = t_в + 20 \).

Мы нашли \( t_{п.весь} = 35 \) минут.

\( 35 = t_в + 20 \)

\( t_в = 35 - 20 = 15 \) минут.

Ответ: 15 минут