7. Вершины треугольника ABC имеют координаты A(8; -3), B(5; 1), C(12; 0). Докажите, что треугольник равнобедренный. Найдите площадь треугольника.

Найдем длины сторон AB, BC, AC по формуле длины отрезка. AB = sqrt((5 - 8)^2 + (1 - (-3))^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5. BC = sqrt((12 - 5)^2 + (0 - 1)^2) = sqrt(7^2 + 1^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) = 5sqrt(2). AC = sqrt((12 - 8)^2 + (0 - (-3))^2) = sqrt(4^2 + 3^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5. Стороны AB и AC равны, значит треугольник равнобедренный. Площадь находим по формуле Герона: S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)), где p = (a + b + c) / 2. Подставляем длины сторон a = 5, b = 5sqrt(2), c = 5. Полупериметр p = (5 + 5sqrt(2) + 5) / 2 = 5 + 5sqrt(2)/2. S = sqrt((5 + 5sqrt(2)/2)(5 + 5sqrt(2)/2 - 5)(5 + 5sqrt(2)/2 - 5)(5 + 5sqrt(2)/2 - 5)).