7. Возведите в куб: a) сумму утроенного числа а и удвоенного числа b: б) разность числа а и половины числа b:

Решение:

Для решения будем использовать формулу куба суммы:

(x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

И формулу куба разности:

(x-y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³

Задание а)

Сначала запишем выражение, которое нужно возвести в куб. Утроенное число a — это 3a. Удвоенное число b — это 2b. Сумма этих выражений:

(3a + 2b)

Теперь возведем эту сумму в куб:

(3a + 2b)³ = (3a)³ + 3 ⋅ (3a)² ⋅ (2b) + 3 ⋅ (3a) ⋅ (2b)² + (2b)³

(3a + 2b)³ = 27a³ + 3 ⋅ 9a² ⋅ 2b + 9a ⋅ 4b² + 8b³

(3a + 2b)³ = 27a³ + 54a²b + 36ab² + 8b³

Задание б)

Разность числа a и половины числа b запишем как:

(a - b/2)

Возведем эту разность в куб:

(a - b/2)³ = a³ - 3 ⋅ a² ⋅ (b/2) + 3 ⋅ a ⋅ (b/2)² - (b/2)³

(a - b/2)³ = a³ - \(\frac{3a²b}{2}\) + 3a ⋅ \(\frac{b²}{4}\) - \(\frac{b³}{8}\)

(a - b/2)³ = a³ - \(\frac{3a²b}{2}\) + \(\frac{3ab²}{4}\) - \(\frac{b³}{8}\)

Ответ:

а) 27a³ + 54a²b + 36ab² + 8b³

б) a³ - \(\frac{3a²b}{2}\) + \(\frac{3ab²}{4}\) - \(\frac{b³}{8}\)