7. Зная значение одной из тригонометрических функций, найдите значения остальных: 1) sin t = −1/√5; 3π/2 < t < 2π; 2) cos t = −5/17; t ∈ [π; 3π/2]; 3) tg t = 3; cos t < 0; 4) ctg t = −0,75; sin t > 0.

Question

Вопрос:

Фото задания: 7. Зная значение одной из тригонометрических функций, найдите значения остальных: 1) sin t = −1/√5; 3π/2 < t < 2π; 2) cos t =…

7. Зная значение одной из тригонометрических функций, найдите значения остальных: 1) sin t = −1/√5; 3π/2 < t < 2π; 2) cos t = −5/17; t ∈ [π; 3π/2]; 3) tg t = 3; cos t < 0; 4) ctg t = −0,75; sin t > 0.

Accepted Answer

Используем тождество \(\sin^2 t+\cos^2 t=1\) и определения \(\operatorname{tg}t=\sin t/\cos t\), \(\operatorname{ctg}t=\cos t/\sin t\). Знаки выбираем по указанной четверти или условию.

Так как \(3\pi/2<t<2\pi\), угол в IV четверти: косинус положителен, тангенс и котангенс отрицательны. \(\cos t=\sqrt{1-1/5}=2/\sqrt5\); \(\operatorname{tg}t=(-1/\sqrt5)/(2/\sqrt5)=-1/2\); \(\operatorname{ctg}t=-2\).
Угол из отрезка \([\pi;3\pi/2]\) находится в III четверти, поэтому синус отрицателен. \(\sin t=-\sqrt{1-25/289}=-2\sqrt{66}/17\); \(\operatorname{tg}t=2\sqrt{66}/5\); \(\operatorname{ctg}t=5/(2\sqrt{66})\).
Тангенс положителен, а косинус отрицателен, значит, угол в III четверти; синус тоже отрицателен. Из \(\sin t=3\cos t\) и основного тождества получаем \(\cos t=-1/\sqrt{10}\), \(\sin t=-3/\sqrt{10}\). Следовательно, \(\operatorname{ctg}t=1/3\).
\(\operatorname{ctg}t=-0{,}75=-3/4\). Поскольку синус положителен, а котангенс отрицателен, косинус отрицателен: угол во II четверти. По отношению сторон треугольника с катетами 3 и 4 получаем \(\sin t=4/5\), \(\cos t=-3/5\), \(\operatorname{tg}t=-4/3\).

Ответ: 1) \(\cos t=2/\sqrt5\), \(\operatorname{tg}t=-1/2\), \(\operatorname{ctg}t=-2\); 2) \(\sin t=-2\sqrt{66}/17\), \(\operatorname{tg}t=2\sqrt{66}/5\), \(\operatorname{ctg}t=5/(2\sqrt{66})\); 3) \(\sin t=-3/\sqrt{10}\), \(\cos t=-1/\sqrt{10}\), \(\operatorname{ctg}t=1/3\); 4) \(\sin t=4/5\), \(\cos t=-3/5\), \(\operatorname{tg}t=-4/3\).