Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 7. Зная значение одной из тригонометрических функций, найдите значения остальных: 1) sint = -1/(√5); 3π/2 < t < 2π; 2) cost =…Фото задания

Ответ:

  • 1) Дано: \( \sin t = -\frac{1}{\sqrt{5}} \), \( \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi \).
  • Найдём \( \cos t \): \( \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \). Так как \( t \) находится в IV четверти, \( \cos t > 0 \). Следовательно, \( \cos t = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \).
  • \( \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = -1/2 \).
  • \( \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = -2 \).
  • 2) Дано: \( \cos t = -\frac{5}{17} \), \( \pi < t < \frac{3\pi}{2} \).
  • Найдём \( \sin t \): \( \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{17}\right)^2 = 1 - \frac{25}{289} = \frac{264}{289} \). Так как \( t \) находится в III четверти, \( \sin t < 0 \). Следовательно, \( \sin t = -\sqrt{\frac{264}{289}} = -\frac{\sqrt{264}}{17} = -\frac{2\sqrt{66}}{17} \).
  • \( \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-2\sqrt{66}/17}{-5/17} = \frac{2\sqrt{66}}{5} \).
  • \( \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{5}{2\sqrt{66}} = \frac{5\sqrt{66}}{132} \).
  • 3) Дано: \( \text{tg } t = 3 \), \( \cos t < 0 \).
  • Так как \( \text{tg } t > 0 \) и \( \cos t < 0 \), то \( t \) находится в III четверти.
  • Найдём \( \sin t \) и \( \cos t \) используя \( \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = 3 \) и \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \).
  • Из \( \text{tg } t = 3 \) следует \( \sin t = 3 \cos t \).
  • Подставляем во второе уравнение: \( (3 \cos t)^2 + \cos^2 t = 1 \) \( 9 \cos^2 t + \cos^2 t = 1 \) \( 10 \cos^2 t = 1 \) \( \cos^2 t = \frac{1}{10} \).
  • Так как \( t \) в III четверти, \( \cos t < 0 \). Следовательно, \( \cos t = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} \).
  • \( \sin t = 3 \cos t = 3 \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \).
  • \( \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{3} \).
  • 4) Дано: \( \text{ctg } t = -0,75 = -3/4 \), \( \sin t > 0 \).
  • Так как \( \text{ctg } t < 0 \) и \( \sin t > 0 \), то \( t \) находится во II четверти.
  • Найдём \( \sin t \) и \( \cos t \) используя \( \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} = -3/4 \) и \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \).
  • Из \( \text{ctg } t = -3/4 \) следует \( \cos t = -3/4 \sin t \).
  • Подставляем во второе уравнение: \( \sin^2 t + \left(-\frac{3}{4} \sin t\right)^2 = 1 \) \( \sin^2 t + \frac{9}{16} \sin^2 t = 1 \) \( \frac{25}{16} \sin^2 t = 1 \) \( \sin^2 t = \frac{16}{25} \).
  • Так как \( t \) во II четверти, \( \sin t > 0 \). Следовательно, \( \sin t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).
  • \( \cos t = -\frac{3}{4} \sin t = -\frac{3}{4} \left(\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5} \).
  • \( \text{tg } t = \frac{1}{\text{ctg } t} = -4/3 \).