7. Зрители могут выйти из кинозала через узкие и широкие двери. Если открыты только узкие двери, то все зрители выходят за 15 мин. Если открыты только широкие двери, то все зрители выходят за 10 мин. За какое время зал освободится, если открыты одновременно две двери?

Это задача на совместную работу. Пусть V — общий объем зрителей, которых нужно вывести из зала.

1. Производительность узких дверей:

Если узкие двери выпускают всех зрителей за 15 минут, то их производительность (объем зрителей, выпускаемых за 1 минуту) равна:

$$ \text{Производительность узких дверей} = \frac{V}{15} $$

2. Производительность широких дверей:

Если широкие двери выпускают всех зрителей за 10 минут, то их производительность равна:

$$ \text{Производительность широких дверей} = \frac{V}{10} $$

3. Совместная производительность:

Когда обе двери открыты, их производительности складываются:

$$ \text{Совместная производительность} = \frac{V}{15} + \frac{V}{10} $$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (30):

$$ \frac{V \times 2}{15 \times 2} + \frac{V \times 3}{10 \times 3} = \frac{2V}{30} + \frac{3V}{30} = \frac{5V}{30} = \frac{V}{6} $$

4. Время освобождения зала:

Чтобы найти время, за которое зал освободится, нужно общий объем зрителей (V) разделить на совместную производительность:

$$ \text{Время} = \frac{V}{\text{Совместная производительность}} = \frac{V}{\frac{V}{6}} = V \times \frac{6}{V} = 6 $$

Таким образом, если открыть одновременно и узкие, и широкие двери, зал освободится за 6 минут.

Ответ: 6 минут