702. На продолжениях стороны АС треугольника АВС за точки А и С соответственно отметили точки М и К так, что АМ = AB, CK = BC. Найдите углы треугольника МВК, если ∠BAC = 60°, ∠ACB = 80°.

Решение:

1. В треугольнике АВС: ∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠ACB) = 180° - (60° + 80°) = 180° - 140° = 40°.
2. Рассмотрим треугольник АМВ. Так как AM = AB, он равнобедренный. Угол ∠AMB равен внешнему углу треугольника АВС при вершине А, то есть ∠AMB = 180° - ∠BAC = 180° - 60° = 120°.
3. Углы при основании равнобедренного треугольника АМВ равны: ∠AMB = ∠ABM = (180° - ∠BAM) / 2. Но мы знаем, что ∠BAC = 60°, а угол ∠BAM — это внешний угол при вершине А, то есть ∠BAM = 180° - 60° = 120°. Это неверно.
4. Переформулируем: AM = AB, значит, треугольник АМВ равнобедренный. Угол ∠MAB = 180° - ∠BAC = 180° - 60° = 120°. Неверно, угол АМВ находится вне треугольника АВС.
5. Рассмотрим треугольник АМВ. AM = AB, значит, он равнобедренный. Угол ∠BAC = 60°. Угол ∠BAM — это угол, смежный с ∠BAC, если бы M лежала на продолжении AC за A. Но M отмечена на продолжении AC за A. Значит, ∠MAB = 180°. Это неверно.
6. Рассмотрим треугольник АМВ. AM = AB, он равнобедренный. Угол ∠MAB = ∠BAC = 60°. Тогда ∠AMB = ∠ABM = (180° - 60°) / 2 = 60°. Треугольник АМВ равносторонний, AM = AB = MB.
7. Рассмотрим треугольник СВК. CK = BC, он равнобедренный. Угол ∠BCK = ∠ACB = 80°. Тогда ∠CKB = ∠CBK = (180° - 80°) / 2 = 50°.
8. Углы треугольника МВК:
9. ∠MBK = ∠MBA + ∠ABC + ∠CBK.
10. Из того, что треугольник АМВ равносторонний, ∠ABM = 60°.
11. Из того, что ∠CKB = ∠CBK = 50°, ∠CBK = 50°.
12. ∠MBK = 60° + 40° + 50° = 150°.
13. ∠BMK = ∠AMB = 60°.
14. ∠BKM = ∠CKB = 50°.
15. Сумма углов треугольника МВК: 150° + 60° + 50° = 260°. Это неверно.
16. Проверим условия. M на продолжении AC за A, K на продолжении AC за C.
17. Рассмотрим треугольник АМВ. AM = AB, значит, он равнобедренный. Угол ∠BAC = 60°. Угол ∠MAB = 180° - 60° = 120°. Тогда ∠AMB = ∠ABM = (180° - 120°) / 2 = 30°.
18. Рассмотрим треугольник СВК. CK = BC, он равнобедренный. Угол ∠ACB = 80°. Угол ∠BCK = 180° - 80° = 100°. Тогда ∠CKB = ∠CBK = (180° - 100°) / 2 = 40°.
19. Углы треугольника МВК:
20. ∠MBK = ∠ABM + ∠ABC + ∠CBK = 30° + 40° + 40° = 110°.
21. ∠BMK = ∠AMB = 30°.
22. ∠BKM = ∠CKB = 40°.
23. Сумма углов треугольника МВК: 110° + 30° + 40° = 180°.

Ответ: ∠MBK = 110°, ∠BMK = 30°, ∠BKM = 40°.