703. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает его стороны АВ и ВС в точках М и К соответственно так, что АМ = МК. Известно, что ∠B = 65°, ∠C = 45°. Найдите угол КАС.

Решение:

1. Прямая МК параллельна стороне АС.
2. Угол ∠B = 65°, ∠C = 45°. Найдем ∠A: ∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (65° + 45°) = 180° - 110° = 70°.
3. Так как МК || АС, то ∠BMK = ∠BAC = 70° (соответственные углы при параллельных прямых АС и МК и секущей АВ).
4. Также ∠BKM = ∠BCA = 45° (соответственные углы при параллельных прямых АС и МК и секущей ВС).
5. В треугольнике АВC: ∠B = 65°, ∠A = 70°, ∠C = 45°.
6. Прямая МК || АС.
7. Угол ∠B = 65°.
8. Угол ∠C = 45°.
9. Угол ∠A = 180° - 65° - 45° = 70°.
10. Прямая МК || АС.
11. Рассмотрим треугольник ВМК. ∠B = 65°, ∠BMK = ∠A = 70°, ∠BKM = ∠C = 45°.
12. В треугольнике ВМК: ∠BMK = 70°, ∠BKM = 45°. Угол ∠B = 180° - (70° + 45°) = 180° - 115° = 65°. Это совпадает с условием.
13. По условию АМ = МК.
14. Рассмотрим треугольник АМК. Угол ∠AMK = 180° - ∠BMK = 180° - 70° = 110°.
15. Треугольник АМК равнобедренный (АМ = МК). Значит, ∠MAK = ∠MKA = (180° - 110°) / 2 = 70° / 2 = 35°.
16. Угол ∠BAC = 70°.
17. Угол ∠MAK = 35°.
18. Угол ∠KAC = ∠BAC - ∠MAK = 70° - 35° = 35°.

Ответ: ∠KAC = 35°.