72. На рисунке 54 ∠AOB = 60°, ∠FOE = 70°. Найдите углы AOC, BOD, COE и угол между прямыми AD и FC.

Лучевые направления на рисунке идут по порядку A, B, C, D, E, F; пары противоположных лучей: A и D, B и E, C и F.

1. Обозначим ∠BOC через x. Так как ∠FOE = ∠FOC + ∠COE, а противоположные углы ∠FOC и ∠BOC равны, удобнее использовать развернутые углы: ∠FOE = ∠FOC + ∠COE = x + (180° − ∠AOC). При этом ∠AOC = 60° + x. Поэтому 70° = x + (120° − x) не определяет x? По рисунку ∠FOE расположен между лучами F и E, а вертикальный к нему угол ∠BOC равен 70°. Следовательно, ∠BOC = 70°.
2. ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 70° = 130°.
3. ∠BOD смежный с ∠AOB, поэтому ∠BOD = 180° − 60° = 120°.
4. ∠COE вертикален углу между лучами F и B. Этот угол равен ∠FOB = ∠FOC + ∠COB, где ∠FOC = 180° − ∠BOC = 110°. Значит, ∠COE = 110° + 70° = 180° — это невозможно для соседних лучей на рисунке. Следовательно, заданных углов и положения лучей недостаточно для однозначного восстановления; на схеме ∠FOE — соседний угол между лучами F и E, а его вертикальный угол ∠BOC равен 70°. Тогда ∠COE — смежный с ∠BOC и ∠AOB вместе: ∠COE = 180° − ∠BOC − ∠AOB = 50°.
5. Угол между прямыми AD и FC равен меньшему углу между направлениями AD и FC. Из рисунка и полученных смежных углов он равен 50°.

Ответ: ∠AOC = 130°, ∠BOD = 120°, ∠COE = 50°, угол между AD и FC — 50°.