73. 48 Найдите площадь криволинейной трапеции: y = x^3, y = 0; x = 1; x = 2

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = x^3 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \).

Вычислим интеграл:

\[ S = \int_{1}^{2} x^3 dx \]

Найдем первообразную:

\[ \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4} \]

Ответ: \( \frac{15}{4} \).