76. 1. Вычислите: \( \sqrt[5]{17 + \sqrt{46}} \cdot \sqrt[5]{17 - \sqrt{46}} \)

Решение:

Используем свойство корней \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \) и формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

\[ \sqrt[5]{17 + \sqrt{46}} \cdot \sqrt[5]{17 - \sqrt{46}} = \sqrt[5]{(17 + \sqrt{46})(17 - \sqrt{46})} \]

Применим формулу разности квадратов:

\[ = \sqrt[5]{17^2 - (\sqrt{46})^2} \]

Рассчитаем значения:

\[ = \sqrt[5]{289 - 46} = \sqrt[5]{243} \]

Так как \( 3^5 = 243 \), то:

\[ = 3 \]

Ответ: 3.