768. а) Вокруг прямоугольного поля площадью S = 400 га должны быть посажены со всех сторон деревья в виде полосы шириной l = 10 м. Каковы должны быть линейные размеры поля, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наименьшей?

Решение:

Пусть длина прямоугольного поля равна \( x \) м, а ширина — \( y \) м. Тогда площадь поля \( S_{\text{поле}} = xy \).

Площадь, занимаемая деревьями, равна площади большого прямоугольника (поле + полоса) минус площадь самого поля.

Длина большого прямоугольника: \( x + 2l = x + 2 × 10 = x + 20 \) м.

Ширина большого прямоугольника: \( y + 2l = y + 2 × 10 = y + 20 \) м.

Площадь большого прямоугольника: \( S_{\text{большой}} = (x + 20)(y + 20) = xy + 20x + 20y + 400 \) м².

Площадь, занимаемая деревьями: \( S_{\text{деревья}} = S_{\text{большой}} - S_{\text{поле}} = (xy + 20x + 20y + 400) - xy = 20x + 20y + 400 \) м².

Нам дана площадь самого поля: \( S = xy = 400 \) га. Переведём гектары в квадратные метры: \( 1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2 \), значит \( 400 \text{ га} = 400 × 10000 = 4000000 \text{ м}^2 \).

Из условия \( xy = 4000000 \) м², выразим \( y = \frac{4000000}{x} \).

Подставим \( y \) в формулу площади деревьев:

\( S_{\text{деревья}}(x) = 20x + 20 × \frac{4000000}{x} + 400 = 20x + \frac{80000000}{x} + 400 \).

Чтобы найти наименьшую площадь деревьев, найдём производную \( S'_{\text{деревья}}(x) \) и приравняем её к нулю:

\( S'_{\text{деревья}}(x) = 20 - \frac{80000000}{x^2} \).

Приравниваем производную к нулю:

\( 20 - \frac{80000000}{x^2} = 0 \)

\( 20 = \frac{80000000}{x^2} \)

\( x^2 = \frac{80000000}{20} = 4000000 \)

\( x = \sqrt{4000000} = 2000 \text{ м} \).

Теперь найдём \( y \):

\( y = \frac{4000000}{x} = \frac{4000000}{2000} = 2000 \text{ м} \).

Таким образом, линейные размеры поля должны быть 2000 м на 2000 м.

Ответ: 2000 м х 2000 м.