768. б) Площадь, занимаемая печатным текстом, составляет на странице книги 363 см². Ширина полей вверху и внизу страницы составляет по 2 см, а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть размеры книжной страницы, чтобы площадь ее была наименьшей?

Решение:

Пусть ширина книжной страницы равна \( x \) см, а высота — \( y \) см. Тогда площадь страницы \( S_{\text{страницы}} = xy \).

Площадь, занимаемая печатным текстом, равна 363 см². Эта площадь находится внутри полей.

Ширина поля вверху и внизу: 2 см. Высота полей: \( 2 + 2 = 4 \) см.

Ширина боковых полей: 1,5 см. Ширина полей: \( 1.5 + 1.5 = 3 \) см.

Ширина печатного текста: \( x - 3 \) см.

Высота печатного текста: \( y - 4 \) см.

Площадь печатного текста: \( S_{\text{текста}} = (x - 3)(y - 4) = 363 \) см².

Из условия \( (x - 3)(y - 4) = 363 \), выразим \( y \):

\( y - 4 = \frac{363}{x - 3} \)

\( y = \frac{363}{x - 3} + 4 \).

Площадь страницы: \( S_{\text{страницы}}(x) = x × y = x × \left( \frac{363}{x - 3} + 4 \right) = \frac{363x}{x - 3} + 4x \).

Чтобы найти наименьшую площадь страницы, найдём производную \( S'_{\text{страницы}}(x) \) и приравняем её к нулю:

\( S'_{\text{страницы}}(x) = \frac{363(x - 3) - 363x × 1}{(x - 3)^2} + 4 = \frac{363x - 1089 - 363x}{(x - 3)^2} + 4 = \frac{-1089}{(x - 3)^2} + 4 \).

Приравниваем производную к нулю:

\( \frac{-1089}{(x - 3)^2} + 4 = 0 \)

\( 4 = \frac{1089}{(x - 3)^2} \)

\( (x - 3)^2 = \frac{1089}{4} \)

\( x - 3 = \sqrt{\frac{1089}{4}} = \frac{33}{2} = 16.5 \)

\( x = 16.5 + 3 = 19.5 \text{ см} \).

Теперь найдём \( y \):

\( y = \frac{363}{19.5 - 3} + 4 = \frac{363}{16.5} + 4 = 22 + 4 = 26 \text{ см} \).

Таким образом, размеры книжной страницы должны быть 19.5 см (ширина) и 26 см (высота).

Ответ: 19.5 см х 26 см.