78 O1O2 = 25 см. Найдите MK.

Дано: Два круга с центрами O1 и O2. Расстояние между центрами O1O2 = 25 см. MK - общая внешняя касательная. Радиус окружности с центром O1 равен 15. Радиус окружности с центром O2 равен 8.

Найти: Длину отрезка MK.

Решение:

1. Анализ рисунка: На рисунке изображены два круга, касающиеся друг друга внешне. O1 и O2 - их центры. MK - общая внешняя касательная. Радиус первого круга r1 = O1A = 15 (здесь A - точка касания, не показана явно, но подразумевается, что 15 - это радиус). Радиус второго круга r2 = O2B = 8 (аналогично, B - точка касания).
2. Построение: Проведем отрезок O1O2. Проведем радиусы O1A и O2B к точкам касания M и K соответственно. O1M ⊥ MK и O2K ⊥ MK.
3. Прямоугольная трапеция: Четырехугольник O1MKO2 является прямоугольной трапецией, так как O1M || O2K (оба перпендикулярны MK).
4. Вычисление длины касательной: Для нахождения длины общей внешней касательной MK, проведем из центра меньшей окружности O2 отрезок, параллельный MK, до пересечения с радиусом O1M. Обозначим точку пересечения как P.
5. Образование прямоугольника: Тогда MPK O2 - прямоугольник. Следовательно, MK = PO2 и PM = O2K = 8.
6. Образование прямоугольного треугольника: Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔO1PO2. Гипотенуза O1O2 = 25. Катет PO2 = MK. Катет O1P = O1M - PM = r1 - r2 = 15 - 8 = 7.
7. Применение теоремы Пифагора: По теореме Пифагора: $$(O_1O_2)^2 = (PO_2)^2 + (O_1P)^2$$
8. Подстановка значений: $$25^2 = (MK)^2 + 7^2$$
9. Расчет: $$625 = (MK)^2 + 49$$
10. Вычисление MK: $$(MK)^2 = 625 - 49 = 576$$
11. Нахождение MK: $$MK = √{576} = 24$$

Ответ: 24 см