78. В треугольнике ABC высота AM делит сторону BC пополам. Докажите, что отрезок AM является биссектрисой треугольника ABC.

Так как AM — высота, \(AM\perp BC\), поэтому \(\angle AMB=\angle AMC=90^\circ\). По условию M — середина BC, значит, \(BM=CM\). Кроме того, AM — общая сторона треугольников ABM и ACM.

Следовательно, прямоугольные треугольники ABM и ACM равны по двум катетам. Поэтому \(\angle BAM=\angle MAC\), то есть AM делит угол A пополам и является биссектрисой треугольника ABC.