799. Решите уравнение (х-1)² = 2x²-6x-31.

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения: \( (x-1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1 \).
2. Подставим раскрытые скобки в исходное уравнение: \( x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 6x - 31 \).
3. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( 0 = 2x^2 - x^2 - 6x + 2x - 31 - 1 \).
4. Упростим полученное уравнение: \( x^2 - 4x - 32 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \).
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
7. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Ответ: x₁ = 8, x₂ = -4.