8. (1 балл) Решить уравнение x/+1 + 2x/x-1 = 4/x2-1

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю \( x^2 - 1 \), который равен \( (x-1)(x+1) \). Учтём, что \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).

\[ \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{(x-1)(x+1)} \]

\[ x(x-1) + 2x(x+1) = 4 \]

\[ x^2 - x + 2x^2 + 2x = 4 \]

\[ 3x^2 + x = 4 \]

\[ 3x^2 + x - 4 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 7}{6} \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]

Так как \( x \neq 1 \), то первый корень \( x_1 = 1 \) не подходит. Остаётся корень \( x = -\frac{4}{3} \).

Ответ: \( x = -\frac{4}{3} \)