8. (1 балл). Упростить выражение: √2/√3+√18)-√24?

Решение:

Упростим выражение \( \left( \sqrt{2} / (\sqrt{3} + \sqrt{18}) \right) - \sqrt{24} \).

1. Упростим \( \sqrt{18} \):
   \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
2. Подставим в знаменатель первой дроби:
   \( \sqrt{3} + 3\sqrt{2} \)
3. Упростим \( \sqrt{24} \):
   \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \)
4. Теперь выражение выглядит так:
   \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} - 2\sqrt{6} \)
5. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на сопряженное выражение \( \sqrt{3} - 3\sqrt{2} \):
   \( \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 3\sqrt{2})}{(\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(\sqrt{3} - 3\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} - 3 \cdot 2}{(\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6} - 6}{3 - 9 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6} - 6}{3 - 18} = \frac{\sqrt{6} - 6}{-15} = \frac{6 - \sqrt{6}}{15} \)
6. Теперь вычтем вторую часть:
   \( \frac{6 - \sqrt{6}}{15} - 2\sqrt{6} = \frac{6 - \sqrt{6} - 15 \cdot 2\sqrt{6}}{15} = \frac{6 - \sqrt{6} - 30\sqrt{6}}{15} = \frac{6 - 31\sqrt{6}}{15} \)

Ответ: \( \frac{6 - 31\sqrt{6}}{15} \).